数学博客探讨微积分中 dx 的本质含义

很多人问过这个问题，以后还会有更多人继续问。这正是初学微积分的人自然会问的问题：“(\mathrm{d}x)”到底是什么，为什么它无处不在？

坦白说，这主要是莱布尼茨的责任。莱布尼茨是一位杰出的哲学家和数学家——他是否发明了微积分，取决于你问谁——他引入了这套记号。他眼中的导数是相关无穷小量之比。用稍微现代一点的说法，$$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{dy}{dx}.$$ 不幸的是，人们把这种观点带了太久，久到不健康。分析学的一个分支叫“非标准分析”，它找到了一种巧妙且名副其实“非标准”的方式，使无穷小的概念严格化。还有人质疑排中律的有效性——该定律说一个命题必须非真即假。不接受这条定律，再加上一些取巧手段和相当非标准的逻辑，也能引出无穷小的概念。这样的例子还有很多。简而言之，有无数种“非标准”方式来实现 (\mathrm{d}x)。

这就引出一个精细得多的问题：有没有标准的方式来定义 (\mathrm{d}x)？

我们要为这样一个主张辩护：答案是响亮的“有”。而且，我们要试图说明这个概念是直观且自然的，即便对分析学相对陌生的人也是如此。

在高中物理和微积分预备课程中，我们被告知向量是带有方向的量。作为入门这当然很好，但我们不是傻瓜。这个对向量的描述里根本没提位置。所以，可以想象，我们可以把一个巨大的箱子推过无摩擦表面，而力向量最终跑到火星车附近。要在现实中用向量，我们需要位置。

加上位置这个数据，向量就变成了切向量。如果 (v) 是向量、(p) 是点，我们就用 (v_p) 表示在点 (p) 处对应于 (v) 的切向量。它们之所以叫切向量，是因为在微分几何中的用法：那里用到一个对直线、平面及其他“欧几里得”空间的庞大而有力的推广，叫做“（光滑）流形”。圆就是这种空间的一个例子，圆上某点的切线可以看作圆在该点处所有切向量的集合。为了直观，本节我们留在欧几里得空间（对某个非负整数 (n) 的 (\mathbb{R}^n)）里。

假设 (f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}) 是从实平面到实直线的光滑函数。在每一点 (p\in\mathbb{R}^2)，我们可以取 (f) 沿任意方向的方向导数。例如，若有坐标 ((x,y))，那么 (\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_p) 就是 (f) 在 (p) 处沿 (x) 增大方向的方向导数。若想在 (p) 处取 (f) 沿 (x) 减小方向的方向导数，只需取负得到 (-\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_p)。

事实上，若在 (p) 处任取一个切向量，它就对应于 (p) 处沿该切向量方向、具有相应大小的方向导数。沿用上例，在 (p) 处沿 (x) 增大方向取方向导数，等同于施加 (\left.\frac{\partial}{\partial x}\right|_p)；反方向则等同于施加 (-\left.\frac{\partial}{\partial x}\right|_p)。再进一步，我们断言：切向量和方向导数是同一回事！这看起来可能令人震惊，但它说的不过是：每个切向量都对应于一个具有相同大小和方向的方向导数。若在平面中工作，我们就可以把 (\left.\frac{\partial}{\partial x}\right|_p) 与 (\begin{bmatrix}1 & 0\end{bmatrix}^T_p) 等同，把 (\left.\frac{\partial}{\partial y}\right|_p) 与 (\begin{bmatrix} 0 & 1\end{bmatrix}^T_p) 等同，其中 (v^T) 表示向量 (v) 的转置。

我们用转置是为了让切向量用列向量表示。这样做，就可以让行向量通过左乘作用于它们。注意，用行向量左乘列向量，等同于取这两个向量的点积。因此，行向量可以看作从列向量到实数空间的线性函数。把这些线性泛函像切向量那样附着到点上，就得到余切向量，或称余向量。暗示一下后文方向：在平面中，我们将把满足 (\alpha_p\left(\left.\frac{\partial}{\partial x}\right|_p\right)=1) 且 (\alpha_p\left(\left.\frac{\partial}{\partial y}\right|_p\right)=0) 的余向量 (\alpha_p) 记作 (\mathrm{d}x_p)。

多元微积分中向量场的概念，最好在切向量的语境下看。用我们的术语，向量场不过是一个函数：输入 (\mathbb{R}^n) 中的一点，输出该点处的一个切向量。类似地，我们定义微分 (1)-形式为一个函数：输入 (\mathbb{R}^n) 中的一点，输出该点处的一个余向量。例如，映射 $$\mathrm{d}x:p\mapsto\mathrm{d}x_p$$ 就是一个微分 (1)-形式。于是，(\mathrm{d}x) 不过就是这样一个微分 (1)-形式：它把空间中每一点 (p) 映到 (p) 处的余切向量 (\mathrm{d}x_p)，而该余切向量满足 (\mathrm{d}x_p\left(\left.\frac{\partial}{\partial x}\right|_p\right)=1)，并且对所有 (v_p\not\in\left<\left.\frac{\partial}{\partial x}\right|_p\right>) 有 (\mathrm{d}x_p(v_p)=0)。

这些怎么可能会被解释成无穷小呢？我认为 Spivak 解释得最好：

（原文较长，此处译出前 6000 字，完整内容请点「打开原文」。）