圆周率数字与随机漫步：一段跨越150年的数学探索

这个故事有两个主角。第一个是 pi。

pi 代表圆的周长与直径之比。换句话说，圆的边缘长度总是其宽度的约 3.14 倍。

但几何学与我们的故事无关。我们只关心 pi 的数字。

我们的第二个主角更像是一个概念：行走的想法，但行走者让随机性决定他们的路径。 红线是行走者迄今为止的路径。 行走者从网格中心出发。每一步，它随机向上、下、左或右移动一格。行走在 1000 步后结束。

为了达到那里，我们将踏上一段蜿蜒的旅程，跨越 150 年，连接人物与数学发现。我们开始吧！

我们从一个人和他对 pi 的痴迷开始，一直回到……

那是 1853 年春天。你可能记得那是 Gail Borden 在美国为他的炼乳工艺申请专利的时候（他的名字印在罐头上）。

但我跑题了——Gail Borden 不是我们那个痴迷 pi 的人。

与此同时，在英国一个叫 Houghton-le-Spring 的小煤矿镇，一位校长把一本书送到了印刷商那里。那时候照片很罕见，但我找到了这个镇上的一头令人印象深刻的公牛。

这位校长的名字叫 William Shanks。他 41 岁。那本书是关于最令人垂涎的数学常数——数学界的甜炼乳——pi，计算并写到了 607 位小数。比之前任何人都写得更远。

上班前的早晨 Shanks 会计算，下午他会检查早上的工作。每天都一样。他会写下 meticulous 的计算，全部手工完成。

他花了将近两年半的时间产生了一个结果有 607 个字符的数字。

像我一样，你可能想知道那是什么感觉，花一天或更长时间，只得出一个新的数字。所以我削尖了铅笔。我打开了 Machin 公式，这是 Shanks 那个时代精确计算 pi 的黄金标准。它看起来很简单：

我不会尝试解释数学，因为我不会。但多亏了 YouTube 和我几十年前的长除法训练，这就是手工精确计算 pi 第一位小数的样子。

除了不得不看一些基础视频来重新学习如何进位之外，一切都很直接。但每个数字的计算量都越来越大。随着所需小数位的增加，需要计算更多的项，达到更高的精度。

Shanks 知道他的努力对他的（业余）数学家声誉毫无帮助。不过，可能对他作为 Computer 的声誉有所帮助。那时候那是人类的工作，一个计算的人。他非常擅长。

如果不是为了钱或名声，为什么要做呢？他不需要那么精确的 pi 值。没有人需要。他的动机简单且 relatable：他想做出原创的东西并填充他的空闲时间。那个东西：

漫长的一天结束时你会做什么？Shanks 手工计算 pi 的数字。

出版后，他搁置了日常仪式，转而进行更激动人心的计算，如欧拉常数和素数表。不知为何，他又捡起来 hammer out 了另外 100 位数字，使他在 1873 年出版物中的总数达到 707 位。

Shanks 用坏了多少铅笔（或钢笔）？身体上的代价是什么？我对他的计算方式的痴迷开始 mirror 他对产生 pi 的痴迷。幸运的是，数字爱好者 Erwin Engert 将 pi 计算到 100 位小数，并记录了过程。他估计 Shanks 计算到 707 位小数将填满超过 5000 页。比整个哈利波特系列的书页还多。

实际上，707 位小数是多余的。现代最复杂的工程挑战不需要超过 15 位。但 pi 的数字开始在其几何限制之外拥有自己的生命。

第一个仔细审视 pi 数字的数学家是 Augustus De Morgan。在死后出版物中，他顺便观察到 Shanks 最初的 607 次计算中缺少 7。

他并不为此困扰，只是好奇。毕竟，随机序列也有不均匀的计数。但这引发了一个问题：7 的低计数是 pi 的属性，还是随机模式中的普通波动？

计算数字是寻找模式的一种方式。另一个人想到画出来。那个人，那个神话，那个传奇，John Venn。我能听到你从未来的奉承。

在他 1880 年轰动一时的维恩图之后，他（可能）在寻找重现他早期成功的方法。他试图确定当你确切知道一个序列是如何制作的时候，它是否能被称为随机。

Pi 是完美的标本。它给了 Venn 他的论点所需要的东西：

为了说明最后一点，Venn 画了一条路径，使用 pi 的数字来选择笔划的方向。他将数字 0-7 分配给八点罗盘的方向，并逐位走过 pi。8 和 9 只能旁观。

我用代码重现了 Venn 的路径，这样你可以看到动画。然而，我的结果与他的不同。我反复检查了我的数字，甚至手绘确认，但 Venn 的路径在第 24 位小数处与我的 dramatically 不同。

我搜遍了互联网，看看是否有人能证实我的怀疑。我只找到了一处提及——一篇关于 Venn 的 pi 路径的简短博客文章中的一条孤独评论。

Mark 击中了目标。这是 Venn 的路径，使用 Shanks 707 位 pi 的实际数字。

红色段是最新的一步，灰线是迄今为止的路径。 pi 的每个数字设定一个方向（8 个方向：数字 0 到 7）。绘图上方条带中褪色的数字被跳过，不会移动线条。 按播放或移动步进滑块开始行走。

（原文较长，此处译出前 6000 字，完整内容请点「打开原文」。）