用四个2表示任意整数的数学谜题

有一个有趣的数学谜题，不同水平的人都能从中找到乐趣：

有些例子小学生就能做出来：

到了中学，孩子们学习了指数、阶乘等概念，可涉及的范围大大扩展了：

接下来就是一些技巧了；比如数字22（二十二）可以被看作是两个2的合法用法，依此类推；于是我们可以得到：

要凑出7是出了名的困难，但如果允许使用更多的数学工具，比如Gamma函数，就变得简单了：

人们的数学技能越强，能凑出的数字就越多。看看这个帖子，里面有一些使用积分、循环小数和组合算子的有趣构造。我最喜欢的例子之一涉及复数：

所以即使大学毕业了，乐趣也不会结束！事实上，这似乎是20世纪20年代数学家们最喜欢的消遣之一。直到Paul Dirac通过为每个数字找到通用解法，毁了所有人的乐趣。

现在剩下的就只有以2为底的对数了：

只有一个小问题：它用了三个数字2，而不是四个。不过这很容易修正；因为2=√(2+2)，我们可以把任何一个单独的2替换成这个表达式，就恰好得到四个2了：

有人可能会说这是作弊，但这似乎符合谜题的规则！注意，实体n实际上并没有出现在任何地方——它只是一个辅助工具，用来计算重复平方根的数量。例如，表达7的另一种方式是：

恰好有四个2，而且只使用了合理的初等数学运算来完成计算。很明显，任何数字都可以用这种方式表达；唯一的挑战就是正确地画出所有这些平方根！

我是在Graham Farmelo的书《The Strangest Man: The Hidden Life of Paul Dirac, Quantum Genius》中读到这个故事的。到目前为止，我很喜欢这本书。