用四个2表示任意整数：一个趣味数学谜题的解法与历史

有个有趣的数学谜题，不同水平的人都能玩出乐趣：

有些例子小学生就能做：

到了中学，孩子们学了指数、阶乘等，可表示的范围就大大扩展了：

然后是各种技巧；比如数字22（二十二）可以看作是对两个2的合法使用，依此类推；于是我们可以得到：

要凑到7是出了名的难，但如果允许使用更多的数学工具，比如Gamma函数，就变得简单了：

数学能力越强，能凑出的数字就越多。看看这个帖子，里面有一些用积分、循环小数和组合算子玩出的有趣花样。我最喜欢的例子之一涉及复数：

所以即使大学毕业了，乐趣也不会结束！事实上，这似乎是20世纪20年代数学家们最喜欢的消遣之一。直到Paul Dirac通过为每个数字找到通用解法，把大家的乐趣都给毁了。

现在剩下的就只有以2为底的对数了：

只有一个小问题：它用了三个数字2，而不是四个。不过这很容易修正；因为2=\sqrt{2+2}，我们可以把任意一个单独的数字替换成它，就正好得到四个：

有人可能会说这是作弊，但这似乎符合谜题的规则！注意，实体n实际上并没有出现在任何地方——它只是一个辅助符号，用来计数重复平方根的次数。例如，7的另一种表达方式是：

正好有四个2，而且只用了合理的初等数学运算来完成计算。很明显，任何数字都可以这样表达；唯一的挑战是把那些根号都画好！

我是在Graham Farmelo的书《The Strangest Man: The Hidden Life of Paul Dirac, Quantum Genius》中读到这个故事的。到目前为止我很喜欢这本书。