数学家回顾：射影平面并非任意抽象，而是自然且几乎必然的

Projective space和齐次坐标在我学生时代看起来像是任意的抽象概念，因为介绍它们时完全没有给出动机。很久以后我才意识到，它们是自然的，几乎是不可避免的。当转到 projective space 后，例外情况以及对“无穷远处”对象含糊其辞的引用都消失了。

我的数学教育非常自上而下：先讲抽象，再讲具体（如果有的话）。有一段时间我觉得这样还行，直到研究生阶段触及了我的抽象容忍度上限。现在我会提倡更自下而上的方法，先给出动机再引入抽象，而不是把它们当作既成事实呈现。

我第一次见到 projective plane 大概是在拓扑课上，有人说可以从一个正方形出发，以物理上不可能的方式粘合对边来构造这个平面。这看起来像是个噱头，一种构造不可定向流形的方法，但并不实用。另一种构造是说 projective plane 是普通球面将对径点认同。我觉得这稍微令人满意一些，但仍然缺乏动机。

我本会欣赏有人这样说：projective plane 的发明是为了通过消除例外情况、并使“无穷远处”事物的概念严格化，让几何更优雅。例如，几何计算常常必须特殊处理竖直线，但在 projective geometry 中竖直线并不特殊。

你可以先这样说：我们将平面中的点不简单地表示为 (x, y)，而表示为 (x, y, 1)，并用 (x, y, 0) 表示方向 (x, y) 上的无穷远点。这看起来像是个 hack，但它显然是有动机的。这正是图形程序员会做的事。事实上，我想许多程序员正是这么做的，独立地撞见了 projective geometry。

引入这个额外坐标之后，自然会问：如果最后一个坐标不是 0 或 1，那意味着什么？当你开始对这些扩展坐标做计算时，很快就会遇到这个问题。你可以定一条规则：只要最后一个坐标不为零，就总是通过除以它来归一化，然后你基本上就发现了齐次坐标。

你会在 elliptic curve cryptography 中看到类似上述方法的东西。想要实现加密算法的程序员具体地按 (x, y) 点来思考，直到他们不得不担心一个神秘的“无穷远点”并正确处理它。然后齐次坐标作为一种摆脱困境的工具出现了。

我曾想把这篇文章的标题定为类似“Dr. Stragelove，或者：我如何学会停止担忧并爱上 Projective Plane”，但我不确定效果会有多好。我怀疑很多读者看过这部电影所暗指的 1964 年电影，但“How I Learned to Stop Worrying and Love …”这个梗比电影本身更广为人知。