数学家反思：射影空间并非抽象臆造，而是自然必然的数学对象

_project space 和齐次坐标在我学生时代看起来像是随意的抽象概念，因为当时介绍它们时完全没有给出动机。很久以后我才意识到，它们其实是自然的，几乎是不可避免的。一旦进入_project space，那些例外情况以及对“无穷远”处对象的含糊其辞的指涉就都消失了。

我的数学教育非常自上而下：先讲抽象，再讲具体（如果有的话）。有一段时间我还觉得没问题，直到读研期间撞上了我的抽象耐受上限。现在我会提倡更多采用自下而上的方式，先给出动机再引入抽象，而不是把它们当作既成事实直接摆出来。

我第一次见到_project plane 大概是在一门拓扑学课上，有人说你可以从一个正方形出发，用物理上不可能的方式把对边粘合起来构造出这个平面。这看起来像是个噱头，一种构造不可定向流形的方法，但没什么实际用处。另一种构造是说_project plane 就是把普通球面上的对径点等同起来。我觉得这个说法稍微让人满意一点，但仍然没有动机。

我本来会欣赏的是有人告诉我，_project plane 的发明是为了通过消除例外情况、让“无穷远”处的东西变得严格，从而使几何更优雅。例如，几何计算常常必须对竖直线做特殊处理，但在_project geometry 中，竖直线并不特殊。

你可以一开始就说，我们不把平面上的点简单地表示为 (x, y)，而是表示为 (x, y, 1)，并用 (x, y, 0) 表示方向 (x, y) 上的无穷远点。这看起来可能像是个 hack，但它显然是有动机的。这正是图形程序员会做的事。事实上，我想很多程序员就是这么做的，他们独立地撞上了_project geometry。

引入这个额外的坐标之后，自然会问：如果最后一个坐标不是 0 或 1 而是别的什么，那意味着什么？当你开始对这些扩展坐标做计算时，很快就会遇到这个问题。你可以定一条规则：只要最后一个坐标不为零，就总是除以它来做归一化，然后你基本上就发现了齐次坐标。

你会在椭圆曲线密码学中看到类似上述方法的做法。想要实现加密算法的程序员具体地按 (x, y) 点来思考，直到他们不得不担心一个神秘的“无穷远点”并正确地处理它。这时齐次坐标就作为一种摆脱困境的工具出现了。

我曾想过给这篇文章起个类似“奇爱博士，或者：我如何学会停止担忧并爱上_project plane”的标题，但我不确定效果会怎样。我怀疑没多少读者看过这个标题所影射的 1964 年电影，但“我如何学会停止担忧并爱上……”这个梗比电影本身流传得更广。