三角形中心百科收录X(20)等几何中心条目

2-5, 140, 186, 199, 235, 237, 297, 376-379, 381-384, 401-475, 546-550, 631, 632（及其他若干点）位于Euler线上。 X(20) = 9 X(2) - 8 X(5) = 3 X(4) - 4 X(5) = 3 X(3) - 2 X(5) = 15 X(2) - 16 X(140) = 5 X(4) - 8 X(140) = 5 X(5) - 6 X(140) = 5 X(3) - 4 X(140) = 2 X(10) - 3 X(165) = 8 X(140) - 15 X(376) = 4 X(5) - 9 X(376) = 2 X(3) - 3 X(376) = X(4) - 3 X(376) = 10 X(5) - 9 X(381) = 5 X(4) - 6 X(381) = 5 X(2) - 4 X(381) = 5 X(3) - 3 X(381) = 4 X(140) - 3 X(381) = 5 X(376) - 2 X(381) = 12 X(140) - 5 X(382) = 9 X(381) - 5 X(382) = 9 X(2) - 4 X(382) = 3 X(4) - 2 X(382) = 9 X(376) - 2 X(382) = 3 X(3) - X(382) = 7 X(382) - 12 X(546) 作为Euler线上的一点，X(20)的Shinagawa系数为(1, -2)。 设La为X(4)关于以A为圆心、过X(3)的圆的极线，并循环定义Lb和Lc。（注：X(4)是以ABC任一顶点为圆心的任意圆的对射中心。）设A″ = Lb ∩ Lc，并循环定义B″和C″。三角形A″B″C″与反补三角形位似，位似中心为X(20)，X(20)同时也是A″B″C″的垂心。此外，设La为过B-Soddy椭圆与C-Soddy椭圆交点的直线，并循环定义Lb和Lc。则La、Lb、Lc共点于X(20)。又设A'B'C'为X(253)的cevian三角形。设A″为AB'C'的垂心，并循环定义B″和C″。直线AA″、BB″、CC″共点于X(20)。（Randy Hutson，2015年11月18日） 设L为内切三角形的Brocard轴。设La为A-旁切三角形的Brocard轴，并循环定义Lb和Lc。直线L、La、Lb、Lc共点于X(20)。（Randy Hutson，2016年9月14日） 设A'为X(4)的反cevian三角形的A-顶点关于BC的反射，并循环定义B'和C'。A'BC、B'CA、C'AB的外接圆共点于X(20)。（Randy Hutson，2016年12月10日） 设A'B'C'为ABC关于X(3)的反射（即X(3)的外接cevian三角形）。设A″为B'与C'的cevapoint，并循环定义B″和C″。直线AA″、BB″、CC″共点于X(20)。（Randy Hutson，2016年12月10日） 设A'B'C'为hexyl三角形。设A″为B'与C'的cevapoint，并循环定义B″和C″。直线AA″、BB″、CC″共点于X(20)。 设A'B'C'为半高三角形。设A″为直线B'C'的三线极，并循环定义B″和C″。直线AA″、BB″、CC″共点于X(20)。 设A'B'C'为hexyl三角形，A″B″C″为ABC与hexyl三角形的边三角形。设A为A″关于{B', C'}的调和共轭，并循环定义B、C*。直线AA*、BB*、CC共点于X(20)。（Randy Hutson，2018年6月27日） P = X(20)是唯一满足PB² + PC² + BC² = PC² + PA² + CA² = PA² + PB² + AB²（= 2(16R² - 3SW)）的点。（César Lozada，2026年10月5日。） 设OA为以Ara三角形的A-顶点为圆心、过A的圆；循环定义OB和OC。X(20)是OA、OB、OC的根心。（Randy Hutson，2020年8月30日） 设OA为以Johnson三角形的A-顶点为圆心、过A的圆；循环定义OB、OC。X(20)是OA、OB、OC的根心。（Randy Hutson，2020年8月30日） 考虑此图中（蓝色）直角三角形链T1、T2、T3、……：“Pythagorean snail”。T1的X(20)、T2的X(20)、T3的X(20)、……全部位于同一个圆上。对于以下i值，X(i)也具有同样的共圆性：20、22、110、175、253、280、347、858、401、925*、1114、1294、1295、1297、1303*、1305*、1370*、……其中(*)表示该点位于无穷远直线上。各三角形的直线X(3)X(652)收敛于蜗牛的中心；似乎对于每个三角形，X(625)都位于斜边上。（Dan Reznik，2021年10月30日） 设Ea为过A、以B和C为焦点的椭圆，并循环定义Eb和Ec。这些椭圆交于6个点。过每对相对交点的直线共点于X(20)。 图。--> 图。 （Dan Reznik，2021年12月12日） 在三角形ABC的平面内，设 A' = ABFC的A-旁切圆，并循环定义B'和C'； A1 = BC关于B'C'的正交极，并循环定义B1和C1； 则X(2) = A1B1C1到ABC的正交中心，X(3062) = ABC到A1B1C1的正交中心。（Ivan Pavlov，2022年8月21日） 在三角形ABC的平面内，设E(A)为以B和C为焦点、过A的椭圆，并循环定义E(B)和E(C)。则X(20) = E(A)、E(B)、E(C)的根心。参见X(20) Ellipses。（Benjamin Lee Warren，2024年1月28日） 在三角形ABC的平面内，设P为一点，并设 A'B'C' = P的垂足三角形 Ab = A关于B'的反射，并循环定义Bc和Ca Ac = A关于C'的反射，并循环定义Ba和Cb Ga = ABaCa、BAbCb、CAcBc的重心，并循环定义Gb和Gc G = X(2) = ABC的重心 Q = 满足|X(20)Q| = (4/3)|X(20)P|的点 则GaGbGc的外接圆是以线段GQ为直径的圆。（Benjamin Lee Warren，2025年4月20日）

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