数学家罗纳德·格雷厄姆提出的55年数学难题被人类解决

有时格雷厄姆同时戴着两顶帽子。“事实上很有意思，许多数学家和计算机科学家都对杂耍感兴趣，”他在1980年的一次电视采访中说。“我认为正是对模式和结构的追寻造就了这种兴趣。”

他后来写了许多关于杂耍数学的论文，其中一些是与钟合作完成的。但早在1971年，也就是在他明确建立这种联系几十年之前，他提出了一个问题，一些数学家现在认为这个问题可能也受到了杂耍的启发。

从一个不含零的随机整数集合开始。你总能重新排列它们，使得当你把前两个数相加、再把前三个数相加、再把前四个数相加，依此类推时，每一个“部分和”都各不相同吗？用杂耍的语言来说，这意味着如果每个球在空中停留的时间不同，你总能找到一种抛掷顺序，使得两个球不会在同一拍落下——那样会毁掉整个表演。

如果所有数字都是正数，那么格雷厄姆问题的答案显然是肯定的：随着你加入更多的数，和总是会越来越大。同样，如果混合了正数和负数，答案也已知是肯定的。但如果这些数字生活在一个有限的世界里——就像绕钟面循环的数字，在某个计数之后重复——又会怎样呢？

这正是格雷厄姆想知道的。他猜想答案应该仍然是肯定的。他认为，即使在处理 rigid 约束时，你也常常能找到足够的灵活性来构造特殊的模式或结构——就像尽管数独棋盘或拉丁方阵（另一种谜题）有许多规则，通常仍然可能找到一个有效的构造。“它很好地契合了所有这些关于设计和高度对称结构的问题，”普林斯顿大学的数学家诺加·阿隆说。但几十年来，没有人能证明格雷厄姆的直觉是正确的。

这种情况最近发生了改变，几位年轻数学家接过了球。在一项横跨四篇论文和多个数学领域的证明中，他们最终解决了格雷厄姆的重排猜想。最后一篇论文由波恩大学的丽莎·绍尔曼和芝加哥大学的范辉俊撰写，于2026年2月发表，正式为这个问题画上了句号。

贯穿这些论文的一个主题是：随机性的力量能够引出模式。正如阿隆所说，解决问题的是“合作的力量、年轻一代的力量、概率方法的力量”。

这个猜想设定在时钟算术的世界里。你先把自然数放在一条数轴上，然后把这条线绕到钟面上，使得数字在某个素数p之后重复。比如设p为7。在这个设定中，0、7、14以及所有7的倍数都是等价的——这意味着你可以把两个正数（比如3和4）相加得到零。

格雷厄姆提出了以下问题：如果你从这条数轴上取任意一组非零数字（对任意p），你总能重新排列它们，使得得到的部分和全都不同吗？

这个挑战的难度取决于你的集合相对于p有多大。你选的数字越多，需要处理的和就越多。但如果你选的数字越少，重新排列它们的方式就越少。这些不同的情况激发了不同的方法。

米于塞尔和他以前的导师、伦敦大学学院的阿列克谢·波克罗夫斯基一起，处理了你的集合包含几乎所有直到p的可能数字的情况。对于这么大的集合，构造一个有效的排序可能极其困难。但事实证明，从一个随机排序开始可以带你走完大部分路程。

“计算机科学家通常把这称为‘在干草堆里找针’的问题，”米于塞尔说。你可能知道有很多好的排序存在，但真正找到一个却很难。“如果你随机来做，它很可能会成功，但很难明确描述解决方案应该是什么样子。”

米于塞尔和波克罗夫斯基需要确保排序中任何位置的任何数字序列都不会加起来等于零。否则，把这些数字加到之前的部分和上就会重复那个和。

一个完全随机的排序可能会有几个这样麻烦的序列。因此，米于塞尔和波克罗夫斯基先从集合中挑出几个特别选定的数字放在一边，然后随机打乱其余的。他们扫描自己的随机排序以寻找任何问题；如果遇到一个加起来等于零的区间，他们就可以插入一个备用数字来改变它。2022年，他们发表了他们的解决方案，尽管它隐藏在一篇专注于将同样技术应用于更一般问题的论文中。

几年后，牛津大学的诺亚·克拉维茨在不知道米于塞尔和波克罗夫斯基解决方案的情况下，在一个未解决问题在线档案中偶然发现了格雷厄姆的猜想。“我看到有一个开放问题，我当时就想，人类不知道这个真是太丢人了，”克拉维茨说。“这种情况必须被纠正。”

他决定从相反的一端来 approach 这个猜想。他与牛津大学的本杰明·贝德特一起，考虑了数字集合相对于p非常小的情况——例如，阿隆说，如果你有一个100个数字的集合，而p是10亿。

克拉维茨和贝德特解决了这些情况下的格雷厄姆猜想，并于2024年9月发表了他们的证明。米于塞尔看到了，主动联系并分享了自己的工作；然后他们三人（外加另外两位同事）合作扩展了米于塞尔最初的方法。

“这是一群相当不可能的組合，”克拉维茨说。他和米于塞尔来自组合数学中通常不合作的两个领域。“不同的分支有完全不同的技术，”他说。

（原文较长，此处译出前 6000 字，完整内容请点「打开原文」。）