AI时代的数学：发明还是发现？

关于数学，大体上存在两种视角。一种视角认为，数学是我们构造出来的：我们引入概念、选择公理、发展理论。另一种视角认为，数学独立于这些活动而存在，我们的任务是去发现它。这两种视角未必在数学实践的每个方面都存在分歧。我们显然在构建形式体系和论证，这一点并无争议。更深层的问题在于：我们所理解的那些真理，其存在是否归功于这些行为，还是说我们的构造只是让我们得以认识某种并不依赖于我们的东西。

发现数学真理听起来像是被动的，但寻找化石的古生物学家必须决定在哪里挖掘、发展技术、辨认残缺化石的意义。化石远在考察之前就已存在，但找到它们可能需要非凡的想象力。化石的先在性为考察者的活动提供了方向。同样，一项数学发现可能需要发明一整套语言和框架，一个此前未被注意的关系才变得可理解。发现可能需要极大的创造力，但这并不使被发现的真理成为个人的创造物。每当我们的构造让我们感到意外时，我们就会遇到这种区分。为一个目的引入的定义，在别处揭示出意想不到的关联。一个似乎能组织我们例子的猜想，却出现了反例。通过不同问题发展出的两个理论，结果表达的是同一种结构。在每一种情况下，我们的思想都遇到了某种它并未自由决定的东西。我们可以修改定义或放弃猜想，但不能仅凭心愿就让原来的论证成立。

柏拉图式的视角为这种独立性提供了一种自然的解释。按这种观点，在任何人证明之前，素数就已经有无穷多个了。数学真理既不等待我们的承认，也不从我们这里获得权威。我们可以选择如何描述一个结构，但不能以同样的方式选择它的性质。这种视角也改变了数学家的位置。我们的智能成为一种手段，通过它，一种独立于我们的秩序得以被理解。工作的意义在于它与那种秩序的关系。

正确的推导与对其意义的理解之间的区分同样重要。一个公理系统允许无穷多的演绎，但能够产生这些演绎本身，并不等于提供了有价值的研究方向。数学陈述可以在形式上正确，却并不启人心智。我们可以引入无数定义，并证明关于它们的无数陈述。是什么使一个定义具有启发性？为什么一个定理揭示了某种根本性的东西，而另一个只是增加了可用材料？这些问题涉及一项具体研究与它所揭示的原理之间的关系。数学品味在这里有其位置，前提是我们把它理解为不止于个人偏好。当一个理论揭示了此前被分开理解的事物之间的统一性，或使我们认识到某一现象为何发生时，我们便珍视它。尽管数学真理可能独立于我们而存在，对它的发现仍能改变我们的理解，丰富我们对世界的体验。能够进行更长的推理链，本身并不能解释这种理解。推理通过阐明关系并使其正当性显明来服务于理解。然而，推理的成功并不意味着一切知识都可还原为推理。我们能够进行更广泛的推理，也不能决定什么值得知道，或我们为何寻求知识。

数学只是知识的一个领域。并非一切都能用数学来理解，数学成就也不是智识生活的终极目的。然而，我们越来越多地通过出版物、引用、奖项和其他绩效指标来衡量智识生活。这些指标虽然有用，但当它们定义了工作本身的价值时，就成了问题。我们开始把数学家看作生产能力的集合，把数学仅仅看作他们的产出。从这个视角看，对被 AI 取代的焦虑是自然的：一台在这些任务上表现更好的机器，似乎威胁到了我们的价值。但问题在 AI 到来之前就已开始。我们早已学会用适合机器的术语来理解自己。AI 只是暴露了这种观点的后果。

回应不能只是退回到创造力、直觉或品味等独特的人类能力中寻求庇护。如果我们珍视这些能力，主要因为它们让我们比机器更有优势，我们就仍然困在同样的智识价值观念中。为什么我们追求的价值要取决于比他人或他物更擅长这件事？

数学提供了一个重新思考这整个取向的机会。数学真理不会因为表达它的人与众不同而变得更真。在理解一个证明时，我们让自己的思想与一种其有效性并不属于我们的关系相符合。我们抵达它的具体路径可能带有个人印记，但被理解的东西可以超越那种个体性。我们可以让这一经验松动这样一种信念：知识的最高价值在于它是可以归功于我们自己的成就。

（原文较长，此处译出前 6000 字，完整内容请点「打开原文」。）