用齐次坐标在射影空间中统一极点与极线

前几天我写了几篇关于极点与极线的文章。首先，我谈到了球面三角形的对偶，即极三角形。接着，我讨论了平面几何中的极点与极线，并简要提及了其在射影几何中的推广。

在平面中处理极点与极线略显棘手，因为必须留意特殊情况。极点与极线是相对于圆锥曲线定义的，根据所处理的圆锥曲线是椭圆、抛物线还是双曲线，其定义和计算方式会有所不同。此外，圆锥曲线中心的极线并无定义。

从欧几里得平面过渡到射影平面后，这些例外便不复存在——尽管在谈论无穷远点或无穷远线时，情况似乎并非如此。若完全投身于射影空间的研究，便不存在任何含糊其辞的“无穷远”点或线。甚至椭圆、抛物线和双曲线之间也不再有任何区分。

天下没有免费的午餐，这种优雅统一的代价是必须转向一个具有不同坐标系的更大几何空间。我们不再工作在欧几里得空间 R² 或 Rn 中，而是在域 F 上的 Pn 中工作，F 可以是 R，但并非必须[1]。

Pn 上的坐标是齐次坐标，即由域元素构成的 (n + 1) 元组，它们不全为零，且若两个 (n + 1) 元组成比例，即一个是另一个的非零倍数，则它们表示同一个点。

我们可以通过在末尾添加一个设为 1 的额外坐标，将 Rn 嵌入到 Pn 中。你可以将这个额外坐标视为一个开关：对于有限点设为 1，对于无穷远点设为 0。但这种有限点与无穷远点之间的区分是嵌入方式的人为产物，而非 Pn 的固有属性：Pn 中并无特殊点。在一个 Rn 到 Pn 的嵌入中属于“无穷远”的点，在另一个嵌入中则未必如此。

一旦接受使用齐次坐标的必要性，一切都会变得简单而一致。

二次曲面（当 n = 2 时为圆锥曲线）是满足以下条件的点集：

其中 A 是 F 上的一个非奇异 (n + 1) × (n + 1) 对称矩阵。

注意，本节中并未提及“无穷远”。所有计算均在域 F 中进行，无需添加任何无穷远点。

[1] 唯一的要求是域 F 的特征不能为 2。因此，F 可以是实数域、有理数域、复数域等。只要 F 中元素的数量不是 2 的幂，F 甚至可以是有限域。