数学家以有限单群分类史为鉴，讨论AI对数学研究的冲击

有限单群的分类。关于渗流理论我讲不了太多，但有一个历史先例我认为数学家应当留意。1972年，Dan Gorenstein 宣布了一个走向有限单群分类的研究纲领。经过大约十年的一阵密集工作，Gorenstein 于1983年宣布了“分类”的完成（某种程度上为时过早，因为 quasi-thin 群的情形又过了二十年才由 Aschbacher 和 Smith 补齐）。

有限单群的分类在很多方面都是巨大的成功，但它也是一次失败——请我的群论学家朋友和合作者们见谅——因为它冷却了人们对这个主题的大量兴趣。“著名问题”消失了，数学家们总体上把注意力转向了别处。然而，有限群论中仍然有非常丰富的问题，甚至关于分类本身也有（只举一个例子：John Conway 最喜欢的问题是，为什么 Monster 群存在？）。也许对某些领域来说，OpenAI 的这次倾倒给人的感觉，就像一位群论学家在1970年可能有的感受：分类结果被扔进了他们的办公室，不是以实际论文的形式，而是用油印机印出来、有点模糊，然后像五彩纸屑一样随机撒满一地。

眼下，我们需要像 Gorenstein、Lyons 和 Solomon 那样 efforts，以及他们在修订版分类上的工作。如果这就是我们要做的全部，那会是一项相当吃力不讨好的任务。但我们也有责任不去宣布这个主题“已完成”，而是——凭借这些可用的新工具——宣布它正适合进一步探究。当数学家们哀叹修建银河绕行道时错过的蜿蜒小径时，他们需要意识到那些旧小径仍然存在，并去寻找它们。而在给人提供工作机会时，我们需要奖励这种行为。

AI 的前景，以及数学的（不）统一性：从15岁起，我就想知道 ζ(3) 是什么。起初，是童年的幻想：找到一个欧拉错过的公式。但很快人们会学到更多：Grothendieck 的周期猜想，加上对混合 Tate 动机几何的足够精细的理解（沿着 Don Zagier、Sasha Goncharov、Francis Brown 等人的工作），如何给出一个完全令人满意的结构性、猜想性解释，说明到底是怎么回事。ζ(3) 的无理性，甚至它的超越性，都只是真正有趣的底层问题的一个影子。Apéry 对 ζ(3) 无理性的证明激励了我超过四十年，不是因为它的结论，而是因为它如何揭示出某个仍然秘密的故事的最细微线索——那个故事把代数 K-函数与算术联系起来。

我希望 AI 能帮助数学家挣脱束缚——不再被他们无法证明的第一个自然猜想所限制——去努力解开编织在我们学科各处的更深层奥秘。在过去三十年里，人类在数学上的进展是惊人的。但与此同时，我感到日益增长的不安；我多次看到各个层次的数学家无法向甚至稍微超出其领域的人解释他们在做的事情为什么有趣，这令人忧虑。我们职业的自然沟槽已经非常偏向更狭窄的技术专长，而非更宏大的视野。AI 给了我们一个绝佳的机会，让我们作为数学家拓宽自己。

我一直试图（并不总是成功）作为一个数学家保持宽广。我得到了一些帮助，因为虽然我从17岁起就知道自己想从事代数数论和 Langlands 纲领，但我成长于墨尔本大学这个熔炉，那里是许多 Thurston 的学生和低维拓扑学家的家园。这意味着我沐浴在双曲3-流形的甜美利口酒中。那种接触对我的职业生涯帮助无可估量。正如数学中任何两个深奥领域一样，双曲三维流形与算术之间的联系远比初看时要紧密得多。但同时成为两者的专家仍然很难，更不用说追求一个结合两者的疯狂想法了。让我稍微技术一点。对每个虚二次域 K，存在许多由非分裂四元数代数 B 索引的紧算术双曲三维流形的通约类。每个这些通约类中的流形，通过将双曲四面体分解，产生 H^1 中的元素，而它们的体积总是 π^2 的有理倍数。我一直有一个想法：人们可以把这些不同通约类中的元素设想为与 K 相关联的某种几何 Kolyvagin 系统（“Heegner 点”），可以通过某种未知的 Jacquet–Langlands 对应的整算术版本来把它们套在一起。我没有 pursue 这个问题，原因有两个。第一，涉及太多底层猜想，我所能证明的任何结果都将以许多猜想为条件，而这一点并不总是被数学界所欣赏。第二，汇集所有技术背景来精确表述这样一个想法，需要大量的背景工作。现在，有了 AI，尝试这样一个问题的门槛低得多。这不是试图证明一个定理。这是试图探索某个全新的方向，它可能是胡说八道，也可能不是。数学中有如此多的问题仍然如此新鲜和重要，但以前却不可触及，能够接近它们的机会令人极其兴奋。我们需要更有雄心，制定一年前甚至无法想象的宏大的研究计划。

（原文较长，此处译出前 6000 字，完整内容请点「打开原文」。）